Posts

Showing posts from December, 2014

Resta de monomis.

La resta de monomis semblants l’efectuem restant els coeficients i deixant la mateixa part literal.
Si els monomis no són semblants, deixem indicada la resta.

Exemple:
$ 7ab^4 - 3ab^4 = 4ab^4 $

Valor numèric d’una expressió algebraica.

El valor numèric d’una expressió algebraica és el nombre que resulta de substituir les lletres pels nombres determinats i efectuar les operacions que estan indicades.

Exemple:
Calcula el valor numèric de l’expressió algebraica $ x^2 + 1 $ quan x pren el valor 2.

$ x^2 + 1 \xrightarrow[]{\hspace{0.5cm} x=2 \hspace{0.5cm}} 2^2+1=4+1=5 $

Suma de monomis.

La suma de monomis semblants l’efectuem sumant els coeficients i deixant la mateixa part literal.
Si els monomis no són semblants, deixem indicada la suma.

Exemple:
$ 7ab^4 + 3ab^4 = 10ab^4 $

Multiplicació de monomis.

Per multiplicar monomis, d’una banda, en multipliquem els coeficients, i, de l’altra, les parts literals.

Exemple:
$ 2x^2 \cdot 3x^4=\left (2 \cdot 3 \right ) \cdot \left (x^2 \cdot x^4 \right )=6x^{2+4}=6x^6 $

Divisió de monomis.

Per dividir monomis, d’una banda, en dividim els coeficients, i, de l’altra, les parts literals (si podem).

Exemple:
$ -7x^2y^3:4x= \left (-7:4 \right) \cdot \left ( x^2y^3:x \right )= \frac {-7}{4} x^{2-1}y^3= \frac {-7}{4} x^1y^3= \frac {-7}{4} xy^3 $

Valor numèric d’un polinomi.

El valor numèric d’un polinomi P(x), per a un valor x = a, l’expressem P(a) i l’obtenim substituint la variable x pel valor a al polinomi i fent les operacions.

Exemple:
Calcula el valor numèric del polinomi $ P(x)=5x^3+x-3 $ quan x pren el valor 2.

$ P(x)=5x^3+x-3 \xrightarrow[]{\hspace{0.5cm} x=2 \hspace{0.5cm}}  P(2)=5 \cdot 2^3+2-3=39 $

Producte de dos polinomis.

El producte de dos polinomis el trobem multiplicant cadascun dels termes d’un dels polinomis per l’altre, i sumant després els polinomis obtinguts a les multiplicacions.

Exemple:
$ P(x)=4x^3-5x+1 $
$ Q(x)=2x^2-7 $

$ P(x) \cdot Q(x)= \left (  4x^3-5x+1 \right ) \cdot \left ( 2x^2-7 \right )= $

$ = (4 \cdot 2 ) \cdot (x^3 \cdot x^2) + (4 \cdot (-7)) \cdot (x^3) + (-5 \cdot 2) \cdot (x \cdot x^2) + (-5 \cdot (-7)) \cdot (x) + (1 \cdot 2) \cdot (x^2) + (1 \cdot (-7))= $
$ = 8x^5-28x^3-10x^3+35x+2x^2-7 = $
$ = 8x^5-38x^3+2x^2+35x-7 $

Resta de polinomis.

Per restar polinomis, sumem al primer polinomi l’oposat del segon. Tenint en compte que sumem els monomis semblants, i deixem indicada la suma dels monomis no semblants.

Exemple:
$ P(x)= -x^5+4x^3-5x+1 $
$ Q(x)= -2x^4-3x^3+x^2+5x-7 $

$ P(x)+Q(x)= \left ( -x^5+4x^3-5x+1 \right ) - \left ( -2x^4-3x^3+x^2+5x-7 \right )= $

$-x^5+4x^3-5x+1 +2x^4+3x^3-x^2-5x+7 = $

$ =-x^5 + 2x^4 +  (4+3)x^3 - x^2 + (-5 - 5)x + (1 + 7) = $

$ =-x^5 + 2x^4 +  7x^3 - x^2 - 10x + 8 $

Suma de polinomis.

Per sumar polinomis, en sumem els monomis semblants, i deixem indicada la suma dels monomis no semblants.

Exemple:
$ P(x)= -x^5+4x^3-5x+1 $
$ Q(x)= -2x^4-3x^3+x^2+5x-7 $

$ P(x)+Q(x)= \left ( -x^5+4x^3-5x+1 \right ) + \left ( -2x^4-3x^3+x^2+5x-7 \right )= $

$ =-x^5 – 2x^4 +  (4-3)x^3 + x^2 + (-5 + 5)x + (1 – 7) = $

$ =-x^5 – 2x^4 +  1x^3 + x^2 + 0x – 6= $

$ = -x^5 – 2x^4 +  x^3 + x^2 – 6 $

Divisió d'un polinomi entre un monomis.

Per dividir un polinomi entre un monomi, en dividim cada terme del polinomi entre monomi.

Exemple:
$ P(x)= 6 x^5 + 3 x^4 – 9 x $
$ P(x):3x= \left ( 6 x^5 + 3 x^4 – 9 x \right ):3x= \left ( 6 x^5:3x \right ) + \left ( 3 x^4:3x \right ) + \left ( 9 x:3x \right )= 2 x^4 + x^3 + 3 $

Igualtats notables.

Quadrat d’una suma El quadrat d’una suma és igual al quadrat del primer més el doble producte del primer pel segon més el quadrat del segon.
$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
Exemple:
$ \left ( x + 3 \right )^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3 \cdot 2 = x^2 + 6x + 9 $

Potència d’un polinomi.

La potència d’un polinomi, $ P(x)^n $ , és una manera abreujada d’escriure el producte del polinomi n vegades:
$ P(x)^n = \underbrace{P(x) \cdot P(x) \cdot ... \cdot P(x)}_\text{n vegades} $
Exemple:
$ \left ( x + y \right )^4= \left ( x + y \right ) \cdot \left ( x + y \right ) \cdot\left ( x + y \right ) \cdot \left ( x + y \right ) = x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 $

Divisió de polinomis.

Quan dividim dos polinomis, $ P(x) $ i $ Q(x) $ , obtenim uns altres dos polinomis, $ C(x) $ i $ R(x) $, i es compleix que:

$ P(x)=Q(x) \cdot C(x) + R(x) $ grau de $ R(x) $ < grau de $ Q(x) $
Exemple:
$ P(x)= 4 x^3 + 2 x^2 – 4 x $
$ Q(x)= 2 x^2 – x + 1 $

$ P(x):Q(x)= 2 x +2 $ i residu $ R(x)= -4 x +1 $

Simplificació de fraccions algebraiques.

Simplificar una fracció algebraica és trobar una altra fracció que hi sigui equivalent sense factors comuns entre el numerador i el denominador.

Exemple:
$ \frac {4x^2+12x+9}{2x+3}= \frac { \left ( 2x + 3 \right )^2}{2x+3}= \frac  { \left ( 2x+3 \right ) \cdot \left ( 2x+3 \right )}{\left ( 2x+3 \right )}= \frac {\left ( 2x+3 \right )}{1}= 2x+3 $

Factorització de polinomis.

Factoritzar un polinomi consisteix a escriure’l com a producte de polinomis del grau més petit possible.

Exemple:
$ Q(x)=x^4-1 = \left (x - 1 \right) \cdot \left (x + 1 \right) \cdot \left ( x^2 +1 \right ) $

(M.C.D) Màxim comú divisor d'expressions algebraiques.

El màxim comú divisor està format pels factors comuns a totes les expresions algebraiques.

Exemple:
Factorització de les expressions algebraiques: $ x - 2= x - 2 $
$ x^2 – 4 = \left ( x +2 \right ) \cdot \left (x – 2 \right ) $
$  x^2+4x+4 = \left ( x + 2 \right )^2 $

Càlcul del M.C.D $ M.C.D \left (x-2, x^2-4, x^2+4x+4 \right )= \left (x – 2 \right )$

(m.c.m) Mínim comú múltiple d'expressions algebraiques.

El mínim comú múltiple està format pels factors comuns i no comuns elevats a l’exponent més gran.

Exemple:
Factorització de les expressions algebraiques: $ x - 2= x - 2 $
$ x^2 – 4 = \left ( x +2 \right ) \cdot \left (x – 2 \right ) $
$  x^2+4x+4 = \left ( x + 2 \right )^2 $

Càlcul del m.c.m $ m.c.m \left (x-2, x^2-4, x^2+4x+4 \right )= \left ( x + 2 \right )^2 \cdot \left (x – 2 \right )$

Polinomis amb wxMaxima

Image