Aula24x7

La resta de monomis semblants l’efectuem restant els coeficients i deixant la mateixa part literal. Si els monomis no són semblants, deixem indicada la resta. Exemple: $7ab^4 - 3ab^4 = 4ab^4$

El valor numèric d’una expressió algebraica és el nombre que resulta de substituir les lletres pels nombres determinats i efectuar les operacions que estan indicades. Exemple: Calcula el valor numèric de l’expressió algebraica $x^2 + 1$ quan x pren el valor 2. $x^2 + 1 \xrightarrow[]{\hspace{0.5cm} x=2 \hspace{0.5cm}} 2^2+1=4+1=5$

La suma de monomis semblants l’efectuem sumant els coeficients i deixant la mateixa part literal. Si els monomis no són semblants, deixem indicada la suma. Exemple: $7ab^4 + 3ab^4 = 10ab^4$

Per multiplicar monomis, d’una banda, en multipliquem els coeficients, i, de l’altra, les parts literals. Exemple: $2x^2 \cdot 3x^4=\left (2 \cdot 3 \right ) \cdot \left (x^2 \cdot x^4 \right )=6x^{2+4}=6x^6$

Per dividir monomis, d’una banda, en dividim els coeficients, i, de l’altra, les parts literals (si podem). Exemple: $-7x^2y^3:4x= \left (-7:4 \right) \cdot \left ( x^2y^3:x \right )= \frac {-7}{4} x^{2-1}y^3= \frac {-7}{4} x^1y^3= \frac {-7}{4} xy^3$

El valor numèric d’un polinomi P(x), per a un valor x = a, l’expressem P(a) i l’obtenim substituint la variable x pel valor a al polinomi i fent les operacions. Exemple: Calcula el valor numèric del polinomi $P(x)=5x^3+x-3$ quan x pren el valor 2. $P(x)=5x^3+x-3 \xrightarrow[]{\hspace{0.5cm} x=2 \hspace{0.5cm}}  P(2)=5 \cdot 2^3+2-3=39$

El producte de dos polinomis el trobem multiplicant cadascun dels termes d’un dels polinomis per l’altre, i sumant després els polinomis obtinguts a les multiplicacions. Exemple: $P(x)=4x^3-5x+1$ $Q(x)=2x^2-7$ $P(x) \cdot Q(x)= \left (  4x^3-5x+1 \right ) \cdot \left ( 2x^2-7 \right )=$ $= (4 \cdot 2 ) \cdot (x^3 \cdot x^2) + (4 \cdot (-7)) \cdot (x^3) + (-5 \cdot 2) \cdot (x \cdot x^2) + (-5 \cdot (-7)) \cdot (x) + (1 \cdot 2) \cdot (x^2) + (1 \cdot (-7))=$ $= 8x^5-28x^3-10x^3+35x+2x^2-7 =$ $= 8x^5-38x^3+2x^2+35x-7$

Per restar polinomis, sumem al primer polinomi l’oposat del segon. Tenint en compte que sumem els monomis semblants, i deixem indicada la suma dels monomis no semblants. Exemple: $P(x)= -x^5+4x^3-5x+1$ $Q(x)= -2x^4-3x^3+x^2+5x-7$ $P(x)+Q(x)= \left ( -x^5+4x^3-5x+1 \right ) - \left ( -2x^4-3x^3+x^2+5x-7 \right )=$ $-x^5+4x^3-5x+1 +2x^4+3x^3-x^2-5x+7 =$ $=-x^5 + 2x^4 +  (4+3)x^3 - x^2 + (-5 - 5)x + (1 + 7) =$ $=-x^5 + 2x^4 +  7x^3 - x^2 - 10x + 8$

Per sumar polinomis, en sumem els monomis semblants, i deixem indicada la suma dels monomis no semblants. Exemple: $P(x)= -x^5+4x^3-5x+1$ $Q(x)= -2x^4-3x^3+x^2+5x-7$ $P(x)+Q(x)= \left ( -x^5+4x^3-5x+1 \right ) + \left ( -2x^4-3x^3+x^2+5x-7 \right )=$ $=-x^5 – 2x^4 +  (4-3)x^3 + x^2 + (-5 + 5)x + (1 – 7) =$ $=-x^5 – 2x^4 +  1x^3 + x^2 + 0x – 6=$ $= -x^5 – 2x^4 +  x^3 + x^2 – 6$

Per dividir un polinomi entre un monomi, en dividim cada terme del polinomi entre monomi. Exemple: $P(x)= 6 x^5 + 3 x^4 – 9 x$ $P(x):3x= \left ( 6 x^5 + 3 x^4 – 9 x \right ):3x= \left ( 6 x^5:3x \right ) + \left ( 3 x^4:3x \right ) + \left ( 9 x:3x \right )= 2 x^4 + x^3 + 3$

Quadrat d’una suma El quadrat d’una suma és igual al quadrat del primer més el doble producte del primer pel segon més el quadrat del segon. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ Exemple: $\left ( x + 3 \right )^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3 \cdot 2 = x^2 + 6x + 9$

La potència d’un polinomi, $P(x)^n$ , és una manera abreujada d’escriure el producte del polinomi n vegades: $P(x)^n = \underbrace{P(x) \cdot P(x) \cdot ... \cdot P(x)}_\text{n vegades}$ Exemple: $\left ( x + y \right )^4= \left ( x + y \right ) \cdot \left ( x + y \right ) \cdot\left ( x + y \right ) \cdot \left ( x + y \right ) = x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$

Quan dividim dos polinomis, $P(x)$ i $Q(x)$ , obtenim uns altres dos polinomis, $C(x)$ i $R(x)$, i es compleix que: $P(x)=Q(x) \cdot C(x) + R(x)$ grau de $R(x)$ < grau de $Q(x)$ Exemple: $P(x)= 4 x^3 + 2 x^2 – 4 x$ $Q(x)= 2 x^2 – x + 1$ $P(x):Q(x)= 2 x +2$ i residu $R(x)= -4 x +1$

Simplificar una fracció algebraica és trobar una altra fracció que hi sigui equivalent sense factors comuns entre el numerador i el denominador. Exemple: $\frac {4x^2+12x+9}{2x+3}= \frac { \left ( 2x + 3 \right )^2}{2x+3}= \frac  { \left ( 2x+3 \right ) \cdot \left ( 2x+3 \right )}{\left ( 2x+3 \right )}= \frac {\left ( 2x+3 \right )}{1}= 2x+3$

Factoritzar un polinomi consisteix a escriure’l com a producte de polinomis del grau més petit possible. Exemple: $Q(x)=x^4-1 = \left (x - 1 \right) \cdot \left (x + 1 \right) \cdot \left ( x^2 +1 \right )$

El màxim comú divisor està format pels factors comuns a totes les expresions algebraiques. Exemple: Factorització de les expressions algebraiques: $x - 2= x - 2$ $x^2 – 4 = \left ( x +2 \right ) \cdot \left (x – 2 \right )$ $x^2+4x+4 = \left ( x + 2 \right )^2$ Càlcul del M.C.D $M.C.D \left (x-2, x^2-4, x^2+4x+4 \right )= \left (x – 2 \right )$

El mínim comú múltiple està format pels factors comuns i no comuns elevats a l’exponent més gran. Exemple: Factorització de les expressions algebraiques: $x - 2= x - 2$ $x^2 – 4 = \left ( x +2 \right ) \cdot \left (x – 2 \right )$ $x^2+4x+4 = \left ( x + 2 \right )^2$ Càlcul del m.c.m $m.c.m \left (x-2, x^2-4, x^2+4x+4 \right )= \left ( x + 2 \right )^2 \cdot \left (x – 2 \right )$

Operacions amb Monomis Suma de monomis. Resta de monomis. Multiplicació de monomis. Divisió de monomis. Valor numèric d’una expressió algebraica. Operacions bàsiques amb Polinomis Suma de polinomis. Resta de polinomis. Producte de dos polinomis. Divisió d'un polinomi entre un monomis. Divisió de polinomis. Valor numèric d’un polinomi. Operacions avançades amb polinomis Igualtats notables. Factorització de polinomis. Potència d’un polinomi. (M.C.D) Màxim comú divisor d'expressions algebraiques. (m.c.m) Mínim comú múltiple d'expressions algebraiques. Simplificació de fraccions algebraiques.